כיצד לפתור משוואות לוגריתמיות

תוֹכֶן

• בשלבים
• ראשוני: דע כיצד להפוך משוואה לוגריתמית למשוואה עם כוחות
• שיטה 1 מצא x
• שיטה 2 מצא x באמצעות כלל מוצרי הלוגריתם
• שיטה 3 מצא x באמצעות t כלל המרכיבים לוגריתמים

משוואות לוגריתמיות אינן במבט ראשון הקלות ביותר לפתור במתמטיקה, אך ניתן להפוך אותן למשוואות עם אקספוננטים (סימון מעריכי). לפיכך, אם אתה מצליח לבצע טרנספורמציה זו ואם אתה שולט בחישוב בעזרת הכוחות, עליך לפתור בקלות משוואות מסוג זה. הערה: המונח "יומן" ישמש מעת לעת במקום "לוגריתם", הם ניתנים להחלפה.

בשלבים

ראשוני: דע כיצד להפוך משוואה לוגריתמית למשוואה עם כוחות

1. 
   

   
   נתחיל עם ההגדרה לוגריתם. אם אתם מחפשים לחשב לוגריתמים, דעו שהם לא יותר מאשר דרך מיוחדת להביע כוחות. נתחיל באחד התנאים הקלאסיים של הלוגריתם:
   • y = יומן_ב (X)
     • אם ורק אם: b = x
   • ב הוא בסיס הלוגריתם. יש לעמוד בשני תנאים:
     • b> 0 (ב חייב להיות חיובי בהחלט)
     • ב אסור להיות שווה ל 1
   • בסימון מעריכי (משוואה שנייה למעלה), שם הוא הכוח ו x הוא הביטוי האקספוננציאלי המכונה, למעשה הערך של מי מחפש את היומן.

2. 
   

   
   התבונן במשוואה מקרוב. מול משוואה לוגריתמית, עלינו לזהות את הבסיס (b), את העוצמה (y) ואת הביטוי האקספוננציאלי (x).
   • לדוגמה : 5 = יומן₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   
   
   מקם את הביטוי האקספוננציאלי בצד אחד של המשוואה. מקם, למשל, את הערך שלך x משמאל לשלט "=".
   • לדוגמה : 1024 = ?

4. 
   

   
   הרם את הבסיס לכוח המצוין. הערך שהוקצה למסד הנתונים (ב) חייבים להיות מוכפלים על ידי עצמם פעמים רבות ככל שהעוצמה מצביעה על (שם).
   • לדוגמה : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • בקיצור זה נותן: 4

5. 
   

   
   כתוב את התשובה שלך. כעת אתה יכול לשכתב את הלוגריתם בסימון מעריכי. וודא שהשוויון שלך נכון על ידי ביצוע החישוב מחדש.
   • לדוגמה : 4 = 1024

שיטה 1 מצא x

1. 
   

   
   בידוד הלוגריתם. המטרה היא אכן לפרק בפעם הראשונה את היומן. לשם כך אנו מעבירים את כל החברים הלא-לוגריתמיים בצד השני של המשוואה. אל תשכח להפוך את הסימנים האופרטיביים!
   • לדוגמה : יומן₃(x + 5) + 6 = 10
     • יומן₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • יומן₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   
   
   כתוב את המשוואה בצורה מעריכית. כדי שתוכל למצוא "x" תצטרך לעבור מסימון לוגריתמי לציון מעריכי, כאשר האחרון יהיה קל יותר לפתור.
   • לדוגמה : יומן₃(x + 5) = 4
     • החל מהמשוואה התיאורטית y = יומן_ב (X)], החל אותה על הדוגמה שלנו: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • כתוב את המשוואה כ: b = x
     • אנו משיגים כאן: 3 = x + 5

3. 
   

   
   מצא x. אתם עומדים כעת מול משוואה של התואר הראשון, שקל לפתור. זה יכול להיות תואר שני או שלישי.
   • לדוגמה : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   הזן את התשובה הסופית שלך. הערך שמצאת עבור "x" הוא התשובה למשוואה הלוגריתמית שלך: יומן₃(x + 5) = 4.
   • לדוגמה : x = 76

שיטה 2 מצא x באמצעות כלל מוצרי הלוגריתם

1. 
   

   
   עליכם לדעת את הכלל הנוגע למוצר (הכפל) של היומנים. על פי המאפיין הראשון של היומנים, זה הנוגע למוצר היומנים (מאותו שדר בסיס!), יומן המוצר שווה לסכום יומני האלמנטים של המוצר. איור:
   • יומן_ב(m x n) = יומן_ב(m) + יומן_ב(N)
   • יש לעמוד בשני תנאים:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   בידדו את היומנים בצד אחד של המשוואה. המטרה היא אכן פירוק בהתחלה מהיומנים. לשם כך אנו מעבירים את כל החברים הלא-לוגריתמיים בצד השני של המשוואה. אל תשכח להפוך את הסימנים האופרטיביים!
   • לדוגמה : יומן₄(x + 6) = 2 - יומן₄(X)
     • יומן₄(x + 6) + יומן₄(x) = 2 - יומן₄(x) + יומן₄(X)
     • יומן₄(x + 6) + יומן₄(x) = 2

3. 
   

   
   החל את הכלל הנוגע למוצר היומנים. כאן, אנו מיישמים אותה בכיוון ההפוך, כלומר שסכום היומנים שווה ליומן של המוצר. מה נותן לנו:
   • לדוגמה : יומן₄(x + 6) + יומן₄(x) = 2
     • יומן₄ = 2
     • יומן₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   שכתב את המשוואה עם כוחות. נזכיר כי ניתן להפוך משוואה לוגריתמית למשוואה עם אקספוננטים. כמו קודם נעבור לסימון מעריכי שיעזור לפתור את הבעיה.
   • לדוגמה : יומן₄(x + 6x) = 2
     • החל מהמשוואה התיאורטית, בואו ליישם אותה על הדוגמא שלנו: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • כתוב את המשוואה כ: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   מצא x. עומדים בפניכם כעת משוואת תואר שני, שקל לפתור אותה.
   • לדוגמה : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   כתוב את התשובה שלך. לעיתים קרובות, יש לנו שתי תשובות (שורשים). יש לבדוק במשוואת ההתחלה אם שני הערכים הללו מתאימים. אכן, איננו יכולים לחשב את יומן המספר השלילי! הזן את התשובה התקפה היחידה.
   • לדוגמה : x = 2
   • לעולם לא נזכור זאת מספיק: יומן המספר השלילי אינו קיים, כך שתוכלו, כאן, לפטור - 8 כפתרון. אם היינו לוקחים -8 כתשובה, במשוואה הבסיסית, היינו צריכים: log₄(-8 + 6) = 2 - יומן₄(-8), כלומר יומן₄(-2) = 2 - יומן₄(-8). לא ניתן לחשב את יומן הערך השלילי!

שיטה 3 מצא x באמצעות t כלל המרכיבים לוגריתמים

1. 
   

   
   עליכם לדעת את הכלל הנוגע לחלוקת בולי עץ. על פי המאפיין השני של היומנים, זה הנוגע לחלוקת היומנים (מאותו שולח בסיס!), היומן של המניין שווה להבדל ביומן של המספר וביומן של המכנה. איור:
   • יומן_ב(m / n) = יומן_ב(מ) - יומן_ב(N)
   • יש לעמוד בשני תנאים:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   בידדו את היומנים בצד אחד של המשוואה. המטרה היא אכן פירוק בהתחלה מהיומנים. לשם כך אנו מעבירים את כל החברים הלא-לוגריתמיים בצד השני של המשוואה. אל תשכח להפוך את הסימנים האופרטיביים!
   • לדוגמה : יומן₃(x + 6) = 2 + יומן₃(x - 2)
     • יומן₃(x + 6) - יומן₃(x - 2) = 2 + יומן₃(x - 2) - יומן₃(x - 2)
     • יומן₃(x + 6) - יומן₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   החל את כלל מרכיב היומן. כאן, אנו מיישמים אותה בכיוון ההפוך, היינו שההבדל בין היומנים שווה ליומן של המנה. מה נותן לנו:
   • לדוגמה : יומן₃(x + 6) - יומן₃(x - 2) = 2
     • יומן₃ = 2

4. 
   

   
   שכתב את המשוואה עם כוחות. נזכיר כי ניתן להפוך משוואה לוגריתמית למשוואה עם אקספוננטים. כמו קודם נעבור לסימון מעריכי שיעזור לפתור את הבעיה.
   • לדוגמה : יומן₃ = 2
     • החל מהמשוואה התיאורטית, בואו ליישם אותה על הדוגמא שלנו: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • כתוב את המשוואה כ: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   מצא x. עכשיו כשאין יותר יומנים, אלא כוחות, עליך למצוא בקלות x.
   • לדוגמה : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; אנו מכפילים את שני הצדדים ב- (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   הזן את התשובה הסופית שלך. החזר את החישובים שלך ובצע בדיקה. כשאתה בטוח בתשובה שלך, כתוב אותה באופן סופי.
   • לדוגמה : x = 3